一、关系、关系模式和关系数据库

域

域是一组具有相同数据类型的值的集合。

笛卡尔积（Cartesian Product）

1.给定一组域D1，D2，…，Dn ，允许其中某些域是相同的。

2.D1，D2，…，Dn的笛卡尔积为
$$
D_{1} \times D_{2} \times … \times D_{n} = \lbrace (d_{1},d_{2},…,d_{n}) \mid d_{i} \in D_{i},i = 1,2,…,n \rbrace
$$
性质：1)所有域的所有取值的一个组合 2)不能重复

元组（Tuple）

笛卡尔积中每一个元素（d1，d2，…，dn）叫作一个n元组（n-tuple）或简称元组

分量（Component）

笛卡尔积元素（d1，d2，…，dn）中的每一个值di叫作一个分量

基数（Cardinal number）

若Di（i＝1，2，…，n）为有限集，其基数为mi （i ＝ 1，2，… ，n），则D1×D2×…×Dn的基数M为：
$$
M = \prod_{i = 1}^n m_{i}
$$

关系（Relation）

D1,D2,D3,…,Dn的笛卡尔积的子集叫做在域D1,D2,D3,…,Dn上的关系，表示为R(D1,D2,D3,…,Dn)

1.R：关系名

2.n：关系的目或度（Degree）

元组

1.关系中的每个元素是关系中的元组，通常用t表示

关系的表示

关系也是一个二维表，表的每行对应一个元组，表的每列对应一个域

属性

1.关系中不同列可以对应相同的域

2.为了加以区分，必须对每列起一个名字，称为属性（Attribute）

3.n目关系必有n个属性

码
候选码

1.若关系中的某一属性组的值能唯一地标识一个元组，而其子集不能，则称该属性组为候选码

2.简单的情况：候选码只包含一个属性

3.最极端的情况：关系模式的所有属性组是这个关系模式的候选码，称为全码（All-key）

主码

若一个关系有多个候选码，则选定其中一个为主码（Primary key）

主属性

1.候选码的诸属性称为主属性（Prime attribute）

2.不包含在任何侯选码中的属性称为非主属性（Non-Prime attribute）或非码属性（Non-key attribute）

关系的类别

基本关系（基本表或基表）

实际存在的表，是实际存储数据的逻辑表示

查询表

查询结果对应的表

视图表

由基本表或其他视图表导出的表，是虚表，不对应实际存储的数据

基本关系的性质

列是同质的（Homogeneous）

每一列中的分量是同一类型的数据，来自同一个域

不同的列可出自同一个域

1.其中的每一列称为一个属性

2.不同的属性要给予不同的属性名

列的顺序无所谓

列的次序可以任意交换

任意两个元组的候选码不能相同
行的顺序无所谓

行的次序可以任意交换

分量必须取原子值

关系模式

1.关系模式（Relation Schema）是型，关系是值

2.关系模式是对关系的描述

3.关系模式可以形式化地表示为：R（U，D，DOM，F）

·R：关系名

·U：组成该关系的属性名集合

·D：U中属性所来自的域

·DOM ：属性向域的映象集合

·F ：属性间数据的依赖关系的集合

4.关系模式通常可以简记为 R (U) 或 R (A1，A2，…，An)

·R : 关系名

·A1，A2，…，An : 属性名

注：域名及属性向域的映象常常直接说明为属性的类型、长度

关系模式与关系

·关系模式

1.对关系的描述

2.静态的、稳定的

·关系

1.关系模式在某一时刻的状态或内容

2.动态的、随时间不断变化的

·关系模式和关系往往笼统称为关系

1.通过上下文加以区别

关系数据库

关系数据库

在一个给定的应用领域中，所有关系的集合构成一个关系数据库

关系数据库的型和值

1.关系数据库的型: 关系数据库模式，是对关系数据库的描述

2.关系数据库的值: 关系模式在某一时刻对应的关系的集合，通常称为关系数据库

二、关系的完整性

关系的三类完整性约束

1.实体完整性

2.参照完整性

说明：关系模型必须满足的完整性约束条件称为关系的两个不变性，应该由关系系统自动支持

3.用户定义的完整性

说明：应用领域需要遵循的约束条件，体现了具体领域中的语义约束

实体完整性

实体完整性规则

1.若属性A是基本关系R的主属性，则属性A不能取空值

2.空值就是“不知道”或“不存在”或“无意义”的值

实体完整性规则的说明

1.实体完整性规则是针对基本关系而言的。一个基本表通常对应现实世界的一个实体集。

2.现实世界中的实体是可区分的，即它们具有某种唯一性标识。

3.关系模型中以主码作为唯一性标识。

4.主码中的属性即主属性不能取空值

关系的引用

在关系模型中实体及实体间的联系都是用关系来描述的，自然存在着关系与关系间的引用

外码

定义

设F是基本关系R的一个或一组属性，但不是关系R的码。如果F与基本关系S的主码Ks相对应，则称F是R的外码（Foreign Key）

1.基本关系R称为参照关系（Referencing Relation）

2.基本关系S称为被参照关系（Referenced Relation）或目标关系（Target Relation）

说明

1.关系R和S不一定是不同的关系

2.目标关系S的主码Ks和参照关系的外码F必须定义在同一个（或一组）域上

3.外码并不一定要与相应的主码同名

参照完整性规则

若属性（或属性组）F是基本关系R的外码,它与基本关系S的主码Ks相对应（基本关系R和S不一定是不同的关系），则对于R中每个元组在F上的值必须为：

1.或者取空值（F的每个属性值均为空值）

2.或者等于S中某个元组的主码值

用户定义的完整性

1.针对某一具体关系数据库的约束条件，反映某一具体应用所涉及的数据必须满足的语义要求

2.关系模型应提供定义和检验这类完整性的机制，以便用统一的系统的方法处理它们，而不需由应用程序承担这一功能

三、关系操作与关系代数

基本关系操作

常用的关系操作：

查询操作：选择、投影、连接、除、并、差、交、笛卡尔积（选择、投影、并、差、笛卡尔积是5种基本操作）

数据更新：插入、删除、修改

关系操作的特点：

集合操作方式：操作的对象和结果都是集合，一次一集合的方式

关系代数

·关系代数是一种抽象的查询语言，用对关系的运算来表达查询

·运算对象和结果都是关系

·两类运算符：

1、集合运算符

2、专门的关系运算符

关系代数运算符

使用的记号1

设关系模式为R(A1，A2，…，An)

1.它的一个关系设为R

2.$$t \in R$$表示t是R的一个元组

3.t[Ai]则表示元组t中相应于属性Ai的一个分量

4.若A={Ai1，Ai2，…，Aik}，其中Ai1，Ai2，…，Aik是A1，A2，…，An中的一部分，则A称为属性列或属性组。

5.t[A]=(t[Ai1]，t[Ai2]，…，t[Aik])表示元组t在属性列A上诸分量的集合。

6.$$\overline{A}$$则表示{A1，A2，…，An}中去掉{Ai1，Ai2，…，Aik}后剩余的属性组。

使用的记号2

R为n目关系，S为m目关系

1.$$t_{r} \in R，t_{s} \in S$$， $$\widehat{t_{r}t_{s}}$$称为元组的连接

2.$$\widehat{t_{r}t_{s}}$$是一个n + m列的元组，前n个分量为R中的一个n元组，后m个分量为S中的一个m元组。

给定一个关系R（X，Z），X和Z为属性组

1.当t[X]=x时，x在R中的象集（Images Set）为
$$

$$
2.它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Z上分量的集合

集合运算符：
一.并（Union）

R和S具有 1.相同的目n（即两个关系都有n个属性

2.相应的属性取自同一个域
$$
R\cup S = \lbrace t \mid t \in R \vee t \in S \rbrace
$$

二.差（Difference）

R和S具有 1.相同的目n

2.相应的属性取自同一个域
$$
R - S = \lbrace t \mid t \in R \wedge t \notin S \rbrace
$$

三.交（Intersection）

R和S具有1.相同的目n

2.相应的属性取自同一个域
$$
R \cap S = \lbrace t \mid t \in R \wedge t \in S \rbrace
$$

四.笛卡尔积

严格地讲应该是广义的笛卡尔积（Extended Cartesian Product）
$$
R \times S = \lbrace \widehat{t_{r} t_{s}} \mid t_{r} \in R \wedge t_{s} \in S \rbrace
$$

专门的关系运算符：
一.选择（Selection）又称限制（Restriction）

在关系R中选择满足给定条件的诸元组
$$
\sigma_{F}® = \lbrace t \mid t \in R \wedge F(t) = ‘真’ \rbrace
$$
F：选择条件，是一个逻辑表达式，取值为“真”或“假”

1.基本形式为：X1θY1，θ表示比较运算符，它可以是＞，≥，＜，≤，＝或<>

2.在基本的选择条件上可以进一步进行逻辑运算（与，或，非）

选择运算是从关系R中选取使逻辑表达式F为真的元组，是从行的角度进行的运算

二.投影（Projection）

从R中选择出若干属性列组成新的关系
$$
\Pi_{A}® = \lbrace t[A] \mid t \in R \rbrace \
A:R中的属性列
$$
1.投影操作主要是从列的角度进行运算

2.投影之后不仅取消了原关系中的某些列，而且还可能取消某些元组（避免重复行）

三.连接（Join）

·也称θ连接
$$
R \Join S = \lbrace \widehat{t_{r} t_{s}} \mid t_{r} \in R \wedge t_{s} \in S \wedge t_{r}[A] \theta t_{s}[B] \rbrace \
A和B：分别为R和S上度数相等且可比的属性组\

\theta ：比较运算符
$$
连接运算从R和S的广义笛卡尔积R×S中选取R关系在A属性组上的值与S关系在B属性组上的值满足比较关系θ的元组

·等值连接

1.θ为“＝”的连接运算称为等值连接

2.从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A、B属性值相等的那些元组

·自然连接

一种特殊的等值连接

1.两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组

2.在结果中把重复的属性列去掉

总结：一般的连接操作是从行的角度进行运算，自然连接还需要取消重复列，所以是同时从行和列的角度进行运算。

外连接

·悬浮元组（Dangling tuple）

1.两个关系R和S在做自然连接时，关系R中某些元组有可能在S中不存在公共属性上值相等的元组，从而造成R中这些元组在操作时被舍弃了，这些被舍弃的元组称为悬浮元组。

·外连接（Outer Join）

1.如果把悬浮元组也保存在结果关系中，而在其他属性上填空值(Null)，就叫做外连接

2.左外连接(LEFT OUTER JOIN或LEFT JOIN)

只保留左边关系R中的悬浮元组

3.右外连接(RIGHT OUTER JOIN或RIGHT JOIN)

只保留右边关系S中的悬浮元组

四.除运算（Division）

1.给定关系R (X，Y) 和S (Y，Z)，其中X，Y，Z为属性组。

2.R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。

3.R与S的除运算得到一个新的关系P(X)，P是R中满足下列条件的元组在 X 属性列上的投影。
$$

Y_{X}：X在R中的象集，x = t_{r}[X]
$$